Răspuns:
Explicație pas cu pas:
Avem functia f(x)=x·e⁻²ˣ
Avem derivata ei, f'(x)=(1-2x)·e⁻²ˣ.
Pentru a afla punctele critice (de maxim sau minim), rezolvam f'(x)=0.
⇒(1-2x)·e⁻²ˣ=0. ⇒1-2x=0 , deoarece e⁻²ˣ > 0, pentru ∀x∈R.
Din 1-2x=0 , ⇒-2x=-1, ⇒x=-1:(-2)=1/2. punct critic.
Verificam daca este punct de maxim
Pentru x<1/2, 1-2x>0, deoarece f'(x)>0 ⇒functia este crescatoare pentru x<1/2.
Pentru x>1/2, 1-2x<0, deoarece f'(x)<0 ⇒functia este descrescatoare pentru x>1/2.
Deci x=1/2 este punct de maxim. Determinam coordonatele punctului de maxim. Inlocuim x=1/2 in formula functiei, f(x)=x·e⁻²ˣ.
[tex]f(\frac{1}{2})=\frac{1}{2}*e^{-2*\frac{1}{2} } =\frac{1}{2}*e^{-1 } =\frac{1}{2}* \frac{1}{e} =\frac{1}{2e}.\\[/tex]
Deci punctul de maxim local are coordonatele (1/2; 1/(2e)).
