Răspuns:
Explicație pas cu pas:
[tex]\left \{ {{\frac{x}{y}+\frac{y}{x} =a} \atop {x+y=2a}} \right. ~\left \{ {{\frac{x^{2}+y^{2}}{xy} =a} \atop {x+y=2a}} \right. ~\left \{ {\frac{{(x+y)^{2}-2xy}}{xy}=a \atop {x+y=2a}} \right. ~\left \{ {\frac{{(2a)^{2}-2xy}}{xy}=a \atop {x+y=2a}} \right. ~\left \{ {{\frac{4a^{2}}{xy}-2 =a} \atop {x+y=2a}} \right. ~\left \{ {{\frac{4a^{2}}{xy} =a+2} \atop {x+y=2a}} \right.~\left \{ {{xy=\frac{4a^{2}}{a+2} } \atop {x+y=2a}} \right.[/tex]
atunci, dupa Viete, x si y pot fi solutii a ecuatiei t²-2at+(4a²/(a+2))=0
Ca ecuatia data sa aiba o singura solutie, e necesar, Δ=0, deci
(-2a)²-4·(4a²/(a+2))=0, ⇒4a²(a+2)-4·4a²=0, ⇒4a²(a+2-4)=0, ⇒a=0 sau a=2
dar a nu poate fi 0, deoarece x,y≠0, deci a=2.
Verificare.
pentru a=2
[tex]\left \{ {{xy=\frac{4a^{2}}{a+2} } \atop {x+y=2a}} \right. ~\left \{ {{xy=\frac{4*2^{2}}{2+2} } \atop {x+y=2*2}} \right. ~[/tex]
⇒x=2 si y=2, deci sistemul are o singura solutie S={(2;2)} pentru a=2.
