Salut,
Problema din pozaă este problema AM 106, din culegerea de admitere la UPT 2020.
Observăm că funcția din enunț este pară, adică f(x) = f(--x), deci reprezentarea ei grafică este simetrică față de axa verticală OY.
Funcția este de asemenea continuă, pentru că este rezultatul compunerii unor funcții elementare, care sunt continue prin natura lor.
Pentru x = 0, funcția ia valoarea 0, pentru că ln1 = 0.
Studiem derivabilitatea în punctul x = 0:
[tex]\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sqrt{ln(x^2+1)}-0}{x}\overset{\mathrm{L'Hospital}}{=\joinrel=}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{(\sqrt{ln(x^2+1)})^{'}}{x'}=\\\\\\=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\dfrac{2x}{\dfrac{x^2+1}{2\cdot\sqrt{ln(x^2+1)}}}}{1}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x}{\sqrt{ln(x^2+1)}}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x}{\underbrace{\sqrt{\dfrac{ln(x^2+1)}{x^2}}}_{Tinde\ la\ 1}\cdot x^2}=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x}{\sqrt{x^2}}[/tex]
Știm că √x² = | x |, modul de x. Mare atenție la această greșeală, radical din x² NU este egal cu ,x, ci este egal cu modul de x.
Pentru x negativ, limita este egală cu --1, iar pentru x pozitiv, limita este egală cu +1.
Derivatele laterale în punctul x = 0 sunt finite și diferite. Asta înseamnă că avem un singur punct unghiular. Am atașat și o reprezentare grafică, să înțelegi mai bine rezolvarea.
Green eyes.
