Răspuns:
Explicație pas cu pas:
f)
1. se amplifica cu conjugata si se grupeaza convenabil termenii de la numitor
[tex]\lim_{x \to 0} \frac{x^{2}*(\sqrt{1 + sinx}+\sqrt{cosx})}{1 - cosx + xsinx}[/tex]
2. consideram 1 = cos0 si se aplica formula pentru (cosa - cosb), iar paranteza de sus se scoate din limita caci este egala cu 2
*** [tex]1 - cosx = -2 sin\frac{x}{2} *sin\frac{-x}{2}[/tex], sinus este functie impara: [tex]sin-x = -sinx[/tex], ecuatia devine [tex]2sin\frac{x}{2}^{2}[/tex]
[tex]2* \lim_{x \to 0} \frac{x^{2} }{2*sin\frac{x}{2} ^{2} - xsinx}[/tex]
3. se aplica limita fundamentala [tex]\lim_{x\to 0} \frac{sinx}{x} = 1[/tex]
[tex]2* \lim_{x \to 0} \frac{x^{2} }{\frac{2*sin\frac{x}{2} ^{2}}{\frac{x^{2} }{4}}*\frac{x^{2} }{4} - \frac{xsinx}{x}*x }[/tex]
4. intrucat [tex]x^{2}[/tex] se reduce iar limitele fundamentale formate sunt egale cu 1 limita va fi egale cu [tex]2 *\frac{1}{1/2 + 1} = 2 * \frac{1}{\frac{3}{2}} = \frac{4}{3}[/tex]
