Răspuns:
0
Explicație pas cu pas:
Limita se rezolva cu criteriul clestelui.
In primul rand luam termenul general al functiei trigonometrice ( cos k )
cos k va returna valori intre [-1,1] , adica:
[tex]-1\leq cos k \leq 1[/tex] (1)
Acum ne vom concentra pe numitor, avand termenul general : [tex]\frac{1}{n^{2} +k}[/tex]
Acest termen general trebuie incadrat intre doi termeni generali.
[tex]??\leq \frac{1}{n^{2}+k } \leq ??[/tex]
Prima data lucram cu partea dreapta. Putem maximiza termenul [tex]\frac{1}{n^{2} +k}[/tex] eliminandu-l pe k. Facem acest lucru deoarece se va obtine un termen mai mare decat [tex]\frac{1}{n^{2} +k}[/tex], adica [tex]\frac{1}{n^{2} }[/tex].
Insa in stanga trebuie sa minimizam termenul, adica sa inlocuim k cu n pt. a obtine un termen mai mic decat [tex]\frac{1}{n^{2} +k}[/tex], adica [tex]\frac{1}{n^{2} +n}[/tex]
Astfel, obtinem :
[tex]\frac{1}{n^{2} +n}\leq \frac{1}{n^{2}+k } \leq \frac{1}{n^{2} }[/tex] (2)
Acum, vom inmulti inegalitatea (1) cu (2), obtinand:
[tex]-\frac{1}{n^{2} +n}\leq \frac{cos k}{n^{2}+k } \leq \frac{1}{n^{2} }[/tex]
Am incadrat termenul general al sirului in alti doi termeni.
Facand suma de la k = 1 pana la n, obtinem:
[tex]\frac{n}{n^{2} +n}\leq a_{n} \leq \frac{n}{n^{2} }\\[/tex]
Se obtine [tex]a_{n}[/tex] incadrat in cele doua siruri, dupa ce am facut suma de la k = 1 pana la n.
[tex]\lim_{n \to \infty} \frac{n}{n^{2} +n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n^{2} } = 0[/tex]
Conform criteriul clestelui, cele doua siruri avand limita zero, sirul [tex]a_{n}[/tex] va avea si el limita 0.
