Salut,
Cum numerele x, y și z sunt reale și strict pozitive, putem aplica inegalitatea mediilor, adică media lor aritmetică Ma este mai mare sau egală decât media lor geometrică:
[tex]M_a\geqslant M_g\Leftrightarrow\dfrac{x+y+z}3\geqslant\sqrt[3]{x\cdot y\cdot z}\Rightarrow x+y+z\geqslant 3\cdot\sqrt[3]{x\cdot y\cdot z}\ (1).[/tex]
Similar, cum numerele 1/x, 1/y și 1/z sunt reale și strict pozitive, putem aplica inegalitatea mediilor, adică media lor aritmetică Ma este mai mare sau egală decât media lor geometrică:
[tex]M_a\geqslant M_g\Leftrightarrow\dfrac{\dfrac{1}x+\dfrac{1}y+\dfrac{1}z}3\geqslant\sqrt[3]{\dfrac{1}x\cdot\dfrac{1}y\cdot\dfrac{1}z}\Rightarrow \dfrac{1}x+\dfrac{1}y+\dfrac{1}z\geqslant 3\cdot\sqrt[3]{\dfrac{1}x\cdot \dfrac{1}y\cdot \dfrac{1}z}\ (2).[/tex]
Dacă înmulțim inegalitățile (1) și (2) membru cu membru, atunci obținem:
[tex]\underbrace{(x+y+z)}_{=\ 1}\cdot\left(\dfrac{1}x+\dfrac{1}y+\dfrac{1}z\right)\geqslant 9\sqrt[3]{x\cdot y\cdot z}\cdot\sqrt[3]{\dfrac{1}x\cdot\dfrac{1}y\cdot\dfrac{1}z}\Leftrightarrow\\\\\\\dfrac{1}x+\dfrac{1}y+\dfrac{1}z\geqslant 9\cdot\dfrac{\sqrt[3]{x\cdot y\cdot z}}{\sqrt[3]{x\cdot y\cdot z}}\Rightarrow \dfrac{1}x+\dfrac{1}y+\dfrac{1}z\geqslant 9,\ \text{ceea ce trebuia demonstrat.}[/tex]
Ai înțeles rezolvarea ?
Green eyes.
