👤
ALEXANDRAVERTEN
a fost răspuns

[tex]Demonstrati~ca~n!\geq 2^{n}, n\geq 4.[/tex]

Răspuns :

BAIATUL122001EN

Demonstram prin inductie matematica :P(n):n!≥2ⁿ,∀n≥4

1.Verificarea:P(4):4!≥2⁴<=>1*2*3*4≥2*2*2*2|:8<=>3≥2(A)

2.Demonstratia:P(k)->P(k+1),∀k≥4

fie v(P(k))=1∀k≥4

[tex]P(k):k!\geq 2^k, \forall k \geq 4\\P(k+1):(k+1)!\geq 2^{k+1},\forall k \geq 4\\[/tex]

_________________________\\_

[tex](k+1)!\geq 2^{k+1},\forall k \geq 4<=>k!(k+1)\geq 2*2^k,\forall k \geq 4<=>k!\geq \frac{2*2^k}{k+1} (A),\forall k \geq 4\\=>P(k)_>P(k+1),\forall k \geq 4\\=>v(P(n))=1.\forall n \geq 4\\[/tex]

RAYZENEN

[tex]n!\geq 2^n,\quad n\geq 4\\ \\ \displaystyle \prod\limits_{k=1}^{n}k\geq \prod\limits_{k=1}^{n}2 \,\Leftrightarrow\\ \\ \Leftrightarrow\,1\cdot 2\cdot 3\cdot \prod\limits_{k=4}^{n}k\geq 2\cdot 2\cdot 2\cdot \prod\limits_{k=4}^{n}2\\ \Leftrightarrow \, \dfrac{3}{4}\prod\limits_{k=4}^{n}k\geq \prod\limits_{k=4}^{n}2[/tex]

[tex]\displaystyle \\\diamond\,\,\textbf{Pentru }\,n = 4:\\ \\\dfrac{3}{4}\cdot 4\geq 2 \quad (A)\\ \\ \diamond\,\,\textbf{Pentru }\,n\geq 5:\\ \\ \dfrac{3}{4}\cdot 4\cdot \prod\limits_{k=5}^{n}k \geq 2\cdot \prod\limits_{k=5}^{n}2 \,\Leftrightarrow\,3\prod\limits_{k=5}^{n}k \geq 2 \prod\limits_{k=5}^{n}2\\\\\\ {\!}\left\{\begin{aligned}3&\geq 2 \\ k \geq 2\Rightarrow \prod\limits_{k=5}^n k&\geq \prod\limits_{k=5}^n 2\end{aligned}\right|\,\Rightarrow\,3\prod\limits_{k=5}^{n}k \geq 2 \prod\limits_{k=5}^{n}2\quad (A)[/tex]

[tex]\Rightarrow\, n!\geq 2^n,\quad \forall n\geq 4[/tex]

Vă mulțumim că ați vizitat site-ul nostru dedicat Matematică. Sperăm că informațiile oferite v-au fost de ajutor. Dacă aveți întrebări sau nevoie de asistență suplimentară, nu ezitați să ne contactați. Vă așteptăm cu drag data viitoare și nu uitați să ne adăugați la favorite!


En Learnings: Alte intrebari