2) Se consideră ecuația: [tex]\it x^2+4x-m+3=0, m\in\mathbb{R}[/tex].
a) Rezolvați ecuația pentru m=3.
b) Determinați valorile parametrului m, pentru care ecuația admite
două rădăcini reale distincte.
c) Determinați valoarea parametrului m, pentru care ecuația admite
o singură rădăcină.
Rezolvare :
[tex]\it a)\ m=3 \Rightarrow x^2+4x-3+3=0 \Rightarrow x^2+4x=0 \Rightarrow x(x+4)=0 \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow \begin{cases}\it x+4=0 \Rightarrow x_1=-4\\ \\ \it x_2=0\end{cases}[/tex]
[tex]\it b)\ \Delta=b^2-4ac=4^2-4\cdot1\cdot(-m+3)=16+4m-12=4m+4\ \ \ \ (*)[/tex]
Ecuația admite două rădăcini reale distincte dacă Δ > 0, deci:
[tex]\it \Delta>0\stackrel{(*)}{\Longrightarrow}4m+4>0 \Rightarrow 4m>-4|_{:4} \Rightarrow m>-1 \Rightarrow m\in(-1,\ \ \infty)[/tex]
c) Ecuația admite o singură rădăcină dacă Δ = 0, deci:
[tex]\it \Delta =0 \stackrel{(*)}{\Longrightarrow} 4m+4=0 \Rightarrow 4m=-4|_{:4} \Rightarrow m=-1[/tex]
