Salut,
Suma din enunț este a unei progresii geometrice, cu n termeni primul termen este 1/e și rația este tot 1/e.
Formula pentru o astfel de sumă este (rația 1/e este subunitară):
[tex]S_n=b_1\cdot\dfrac{1-q^n}{1-q}.[/tex]
Unde n este numărul de termeni ai progresiei geometrice, b₁ = 1/e este primul termen al progresiei și q = 1/e este rația.
[tex]S_n=\dfrac{1}e\cdot\dfrac{1-\left(\dfrac{1}e\right)^n}{1-\dfrac{1}e}=\dfrac{1}e\cdot\dfrac{1-\left(\dfrac{1}e\right)^n}{\dfrac{e-1}e}=\\\\\\=\dfrac{1}e\cdot\dfrac{e}{e-1}\cdot\left[1-\left(\dfrac{1}e\right)^n\right]=\dfrac{1}{e-1}\cdot\left[1-\left(\dfrac{1}e\right)^n\right][/tex].
Paranteza dreaptă tinde la 1, pentru că 0 < 1/e < 1, deci (1/e)ⁿ tinde la 0.
Deci limita este:
[tex]\dfrac{1}{e-1}.[/tex]
Ai înțeles rezolvarea ?
Green eyes.
