A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}
Consider mulțimea {1; 3; 5; 7; 9} care are [tex]C_{5}^3[/tex] submulțimi de câte 3 elemente.
Notez mulțimea submulțimilor de câte 3 elemente ale {1; 3; 5; 7; 9} cu M, iar submulțimile cu m₁, m₂, m₃, ..., mₙ (sunt toate submulțimile din A fără niciun element par).
- M = {m₁; m₂; m₃; ...; mₙ}
Știm că produsul cartezian dintre mulțimea M și {2; 4; 6; 8; 10} îi atribuie câte un singur element din {2; 4; 6; 8; 10} fiecărui element din mulțimea M.
Deci:
M × {2; 4; 6; 8; 10} =
= {m₁; m₂; m₃; ...; mₙ} × {2; 4; 6; 8; 10}
= {(m₁, 2); (m₁, 4); (m₁, 6); ...; (mₙ, 6); (mₙ, 8); (mₙ, 10)}
- Este mulțimea de submulțimi căutată (fiecarui element din submulțimi îi corespunde exact un număr par).
Răspuns:
card(M × {2; 4; 6; 8; 10}) =
= card(M) · card({2; 4; 6; 8; 10})
[tex]=C_{5}^3 \cdot 5 = \dfrac{5!}{3!(5-3)!}\cdot 5 = \dfrac{3!\cdot 4\cdot 5}{3!\cdot 2!}\cdot 5 = 10 \cdot 5 = \boxed{50}[/tex]
