[tex]f(x) = |x|e^{-|x-2|} = \sqrt{x^2}\cdot e^{-\sqrt{(x-2)^2}}\\ \\ f'(x) = (\sqrt{x^2})'\cdot e^{-\sqrt{(x-2)^2}}+\sqrt{x^2}\cdot \left(e^{-\sqrt{(x-2)^2}}\right)'\\ \\ = \dfrac{2x}{2\sqrt{x^2}}\cdot e^{-\sqrt{(x-2)^2}}+\sqrt{x^2}\cdot \left(-\dfrac{2(x-2)}{2\sqrt{(x-2)^2}}\cdot e^{-\sqrt{(x-2)^2}}\right)\\ \\ = \dfrac{x}{|x|}e^{-|x-2|}-\dfrac{|x|(x-2)e^{-|x-2|}}{|x-2|}\\ \\ =\dfrac{x|x-2|e^{-|x-2|}-x^2(x-2)e^{-|x-2|}}{|x(x-2)|}\\ \\ = \dfrac{xe^{-|x-2|}\left(|x-2|-x(x-2)\right)}{|x(x-2)|}[/tex]
Fac f'(x) = 0:
⇒ x = 0 punct de extrem (staționar).
⇒ x-2 = 0 ⇔ x = 2 punct de extrem (staționar).
① x-2 > 0:
⇒ (x-2) - x(x-2) = 0 ⇒ (x-2)(1-x) = 0
⇒ x = 1 (F) deoarece x > 2.
② x-2 < 0:
⇒ -(x-2) - x(x-2) = 0 ⇒ (x-2)(-1-x) = 0
⇒ x = -1 (A) deoarece x < 2.
⇒ x = -1 punct de extrem.
Singurele puncte extrem sunt x = 0 (punct de minim), x = 2 (punct de maxim) și x = -1 (punct de maxim local).
Deci avem 1 punct de minim (m = 1) și 2 puncte de maxim (p = 2).
⇒ m·p = 1·2 = 2 ⇒ e) corect
