Răspuns:
3^x + 4^x = 5^x (impartim cu 5^x)
(3/5)^x + (4/5)^x = 1
fie f,g : R → R, f(x) = (3/5)^x, g(x) = (4/5)^x
Functiile f si g sunt exponentiale, astfel ca monotonia lor nu depinde de x, ci de numarul ridicat la puterea x. Ambele functii au ca baza un numar subunitar, ceea ce inseamna ca ambele functii sunt strict descrescatoare. Fie h(x) = f(x) + g(x). Intrucat f si g sunt strict descrescatoare, rezulta ca h este si ea strict descrescatoare, ceea ce inseamna ca h este functie injectiva. Asadar, ecuatia h(x) = 1 (care este echivalenta cu (3/5)^x + (4/5)^x = 1) are maxim o solutie.
Putem observa ca, pentru x = 2, avem 3^2 + 4^2 = 5^2 ⇔ 9 + 16 = 25 (adevarat), de unde rezulta ca x=2 este singura solutie.
La acest tip de ecuatii se poate observa cu ochiul liber o solutie, asa ca nu trebuie decat sa aratam ca este unica.
