[tex]t<\frac{13}{14}+\frac{14}{15}+\frac{15}{16}+...+\frac{19}{20} < t+1\\\\[/tex]
Observăm că suma are (19-13)+1 = 7 termeni.
Fiecare termen este de forma:
[tex]\frac{k}{k+1} = 1-\frac{1}{k+1}[/tex]
Voi scrie câte o inegalitate pentru fiecare termen al sumei, în total vor fi 7 inegalități.
Știm că [tex]\frac{13}{14} = \frac{14-1}{14} = \frac{14}{14}-\frac{1}{14} = 1-\frac{1}{14}[/tex].
Astfel deoarece [tex]\frac{1}{7}>\frac{1}{14}\Rightarrow -\frac{1}{7} <-\frac{1}{14}\Rightarrow 1-\frac{1}{7}<1-\frac{1}{14}[/tex],
la fel se întâmplă și cu ceilalți 6 termeni fiindcă numitorul lor este > 7.
Adăugăm și faptul că fiecare termen este < 1.
[tex]\\\left|\begin{array}{c} 1-\frac{1}{7} < 1-\frac{1}{14}<1\\\\ 1-\frac{1}{7} < 1-\frac{1}{15}<1\\\\1-\frac{1}{7} < 1-\frac{1}{16}<1\\ \\ \vdots\\ \\ 1-\frac{1}{7}<1-\frac{1}{20}<1\end{array}\right. \Leftrightarrow \left|\begin{array}{c} 1-\frac{1}{7} < \frac{13}{14}<1\\\\ 1-\frac{1}{7} < \frac{14}{15}<1\\\\1-\frac{1}{7} < \frac{15}{16}<1\\ \\ \vdots\\ \\ 1-\frac{1}{7}<\frac{19}{20}<1\end{array}\right.[/tex]
[tex]\\\text{(Adun cele 7 inegalitati)}\\\\[/tex]
[tex]\Rightarrow 1\cdot 7-\frac{1}{7}\cdot 7<\frac{13}{14}+\frac{14}{15}+\frac{15}{16}+...+\frac{19}{20}<1\cdot 7\\ \\ \Rightarrow 7-1<\frac{13}{14}+\frac{14}{15}+\frac{15}{16}+...+\frac{19}{20}<7\\\\ \Rightarrow 6<\frac{13}{14}+\frac{14}{15}+\frac{15}{16}+...+\frac{19}{20}<6+1\\ \\ \Rightarrow \boxed{t = 6}[/tex]
