Salut,
Rezolvarea de mai jos se referă la figura alăturată.
Conform enunțului, avem așa:
AB = x, AC = x + 1 și BC = x + 2, unde evident că x > 0 (lungimea unei drepte nu poate fi negativă).
m(∡A) = 2·m(∡C).
m(∡A) + m(∡B) + m(∡C) = 180° ⇔ 2·m(∡C) + m(∡B) + m(∡C) = 180° ⇒
⇒ m(∡B) = 180° -- 3·m(∡C) (1).
sinB = sin(180° -- 3C) = sin180°·cos(3C) -- cos(180°)·sin(3C) = sin(3C) (2).
sin(3C) = 3·sinC -- 4·sin³C (3).
Din relațiile (2) și (3) avem că:
sinB = sinC·(3 -- 4·sin²C) = sinC·[3 -- 4·(1 -- cos²C)] ⇔
⇔ sinB = sinC·(4·cos²C --1) (4).
Aplicăm teorema sinusului în triunghiul ABC:
[tex]\dfrac{x}{sinC}=\dfrac{x+2}{sinA}\Leftrightarrow\dfrac{x}{sinC}=\dfrac{x+2}{sin(2C)}\Leftrightarrow\\\\\Leftrightarrow\dfrac{x}{sinC}=\dfrac{x+2}{2\cdot sinC\cdot cosC}\Rightarrow 2\cdot cosC=\dfrac{x+2}{x}\ (5).[/tex]
Am simplificat cu sinC, care sigur nu ia valoarea zero.
Aplicăm încă o dată teorema sinusurilor și ținem cont de relația (2):
[tex]\dfrac{x+1}{sinB}=\dfrac{x}{sinC}\Leftrightarrow\dfrac{x+1}{sinC\cdot(4\cdot cos^2C-1)}=\dfrac{x}{sinC}\Leftrightarrow\\\\\Leftrightarrow\dfrac{x+1}{4\cdot cos^2C-1}=x\Rightarrow 4\cdot cos^2C=1+\dfrac{x+1}x\ (6).[/tex]
Din nou, am simplificat cu sinC, care sigur nu ia valoarea zero.
Ridicăm la pătrat relația (5) și egalăm membrul ei drept cu membrul drept al relației (6):
[tex]\dfrac{(x+2)^2}{x^2}=1+\dfrac{x+1}x\Leftrightarrow \dfrac{x^2+4x+4}{x^2}=\dfrac{2x+1}x\Bigg{|}\cdot x^2\Rightarrow\\\\\Rightarrow x^2+4x+4=2x^2+x\Rightarrow x^2-3x-4=0\Leftrightarrow(x-4)(x+1)=0.[/tex]
De aici avem că x₁ = --1 < 0, soluție care nu convine și
x₂ = 4, care este soluție acceptată.
Perimetrul cerut este: P = x + x + 1 + x + 2 = 3x + 3 = 3·4 + 3 = 15,
deci perimetrul este 15, răspunsul corect este a.
Ai înțeles rezolvarea ?
Green eyes.
