Răspuns:
C. 2
Explicație pas cu pas:
[tex]f(x) = x^2-|x-a| \\ \\ f'(x)=2x-\dfrac{|x-a|}{x-a}[/tex]
[tex]\begin{aligned}f''(x)&= 2-\left[|x-a|\cdot \left(\dfrac{1}{x-a}\right)'+|x-a|'\cdot \dfrac{1}{x-a}\right) \\ &=2-\left(-\dfrac{|x-a|}{(x-a)^2}+\dfrac{|x-a|}{(x-a)^2}\right)\\ &= 2\end{aligned}[/tex]
[tex]f''(x) > 0,\,\,\,\forall x\in [0,1]\,\backslash\,\{a\}[/tex]
Deoarece f(x) e convexă pe [0, 1] \ {a} inseamnă că [tex]a[/tex] nu poate fi in intervalul (0, 1).
Luăm cazurile în care a = 0 și a = 1.
① Dacă a = 0, atunci f(x) e convexă pe (0, 1].
Verific dacă are sens in x = 0.
f(0) = 0 - |0 - 0| = 0, are sens.
⇒ pentru a = 0, f(x) e convexă pe [0, 1].
② Dacă a = 1, atunci f(x) e convexă pe [0, 1).
Verific dacă are sens in x = 1.
f(1) = 1 - |1 - 1| = 1, are sens.
⇒ pentru a = 1, f(x) e convexă pe [0, 1].
Deci, a ∈ {0, 1} ⇒ are două valori.
