Răspuns:
Explicație pas cu pas:
Termenul general al dezvoltării (a+b)ⁿ, este
[tex]T_{k+1}=C_{n}^{k}*a^{n-k}*b^{k}[/tex]. Deoarece ne interesează numai rangul termenului care nu contine x din dezvoltrea binomială, deaceea nu vom atrage atenție la coeficientul lui, ci numai la a și b.
[tex]a)~~n=15,~~a^{15-k}*b^{k}=(\sqrt{x} )^{15-k}*(\dfrac{1}{x^{2}})^{k}}=(x^{\frac{1}{2} } )^{15-k}*(x^{-2})^{k}=x^{\frac{15-k}{2}-2k }\\Deci~\frac{15-k}{2}-2k =0,~|*2,~~15-k-4k=0,~~5k=15,~deci~k=3,~iar~k+1=4.[/tex]
Adică al 4-lea termen nu-l conține pe x.
[tex]b)~~n=14, ~~~a^{14-k}*b^{k}=(x^{3})^{14-k}*(\frac{1}{\sqrt{x} })^{k}=x^{3(14-k)}*x^{-\frac{1}{2}k }=x^{3(14-k)-\frac{1}{2}k } .~~Deci,~~3(14-k)-\frac{1}{2}k=0~|*2,~~6(14-k)-k=0,~~84-7k=0,~~k=12.[/tex]Deci, k+1=13, adică al 13-lea termen nu-l conține pe x.
[tex]c)~n=6,~~a^{6-k}*b^{k}=x^{6-k}*x^{-\frac{1}{2}k}=x^{6-k-\frac{1}{2}k }\\Deci,~~6-k-\frac{1}{2}k=0~|*2,~~~12-2k-k=0,~~12=3k,~deci~k=4.\\[/tex]
Deci, k+1=5, adică al 5-lea termen nu-l conține pe x.
