Răspuns:
ln2.
Explicație pas cu pas:
[tex]\int\limits^\frac{\pi }{2} _0 {\dfrac{sin2x}{1+sin^{2}x} } \, dx=\int\limits^\frac{\pi }{2} _0 {\dfrac{2sinxcosx}{1+sin^{2}x} } \, dx=2\int\limits^\frac{\pi }{2} _0 {\dfrac{sinx}{1+sin^{2}x} } \, d(sinx)=I.[/tex]
Facem substitutia sinx=t. Pentru x=0, t=sin0=0. Pentru x=π/2, t=1. Obtinem
[tex]I=2\int\limits^1_0 {\dfrac{tdt}{1+t^{2}} } \,= 2*\frac{1}{2} \int\limits^1_0 {\dfrac{d(t^{2})}{1+t^{2}} } \,=ln|1+t^{2}| |^{1}_{0}=ln|1+1^{2}|-ln|1+0^{2}|=ln2-ln1=ln2.[/tex]
