Răspuns:
✿ Salut! ✿
✎ Cerință:
b) Demonstrați că triunghiul DMN este echilateral.
c) Determinați sinusul unghiului dintre dreapta CM și planul (ABD).
✯✯✯ Rezolvare: ✯✯✯
Să ne reamintim:
- Triunghiul echilateral este triunghiul cu toate laturile egale.
- Unghiul dintre o dreaptă și un plan este unghiul dintr-o dreaptă și proiecția ei pe plan.
- Sinusul este raportul dintre cateta opusă și ipotenuză (într-un triunghi dreptunghic).
b) M - mijlocul laturii AB
N - mijlocul laturii AC
⇒ MN - linie mijlocie în triunghiul ABC ⇒ MN = 4 cm
Triunghiurile ADB și ADC sunt dreptunghice.
[tex]\text{AD cateta comuna}\\\text{AB = AC}\\\\\overset{I.C.}{\implies} \triangle ADC\:\sim\:\triangle ADB\implies \text{DM = DN}[/tex]
În Δ ADC
m(∡D) = 90°
[tex]\overset{T.P.}{\implies} DC^{2}=AC^{2}-AD^{2}\\\\DC^{2}=8^{2}-(4\sqrt{2})^{2}\\\\DC=\sqrt{64-32}\\\\DC=\sqrt{32}\\\\DC=4\sqrt{2}\:\:cm[/tex]
[tex]\overset{T.\hat{I}._{2}}{\implies} DN=\frac{AD*DC}{AC}\\\\DN=\frac{\not4\sqrt{2}*\not4\sqrt{2}}{\not8}\\\\DN=\sqrt{2*2}\\\\DN=4\:cm \implies DM=4\:cm[/tex]
În Δ MDN
MD = DN = MN = 4 cm
⇒ Δ MDN - echilateral
c) [tex]sin(\widehat{CM;(ABD))}=sin(\widehat{CM;\:pr_{_{_{ABD}}}\:CM})=sin(\widehat{CM;\:MD})=sin(\widehat{CMD})[/tex]
În Δ CDM
m(∡D) = 90°
[tex]\overset{T.P.}{\implies} CM^{2}=CD^{2}+DM^{2}\\\\CM^{2}=(4\sqrt{2})^{2}+4^{2}\\\\CM^{2}=32+16\\\\CM=\sqrt{48}\\\\CM = 4\sqrt{3}\:cm\\\\\implies sin(\widehat{CMD})=\frac{CD}{CM}=^{\sqrt{3})}\frac{\not4\sqrt{2}}{\not4\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}[/tex]
