Răspuns :
METODA 1
a, b, c - cifre
a, b, c∈{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
a ≠ 0
(a + b + c)•34 = abc (in baza zece)
Observam ca abc se divide simultan cu 17 si cu 2
Descompunem in baza zece :
34a + 34b + 34c = 100a + 10b + c / -34a
34b + 34c = 66a + 10b + c / -10b-c
24b + 33c = 66a /:3 (impărțim toată relația cu 3)
8b + 11c = 22a
↓ ↓ ↓
PAR + ? = PAR
8b - este par
22a - este par ⇒ 11c este PAR;
DAR (11,8) - nr prime intre ele⇒ c este PAR ⇒ c∈{0,2,4,6,8}
Vom avea de analizat 5 cazuri în funcție de ce valoare poate avea c
- c = 0 ⇒ 8b = 22a/ :2 ⇒ 4b = 11a
daca a = 4 ⇒ 4b = 11•4 ⇒ b = 11 (NU CONVINE)
daca a = 8 ⇒ 4b = 88 ⇒ b = 22 (NU CONVINE)
- c = 2 ⇒ 8b + 22 = 22a/:2 ⇒ 4b + 11 = 11a
Aici ar trebui sa analizezi fiecare valoare posibila a lui a∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9}, dar vei vedea ca a poate avea doar o valoare
daca a = 1 ⇒ 4b + 11 = 11 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 abc = 102 (solutie)
daca a = 2 ⇒ 4b + 11 = 22 ⇒ 4b = 11 ⇒ (NU CONVINE)
- c = 4 ⇒ 8b + 44 = 22a/:2 ⇒ 4b + 22 = 11a
daca a = 1 ⇒ 4b + 22 = 11 ⇒ 4b = -11 (NU CONVINE)
daca a = 2 ⇒ 4b + 22 = 22 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 abc = 204 (solutie)
daca a = 3 ⇒ 4b + 22 = 33 ⇒ 4b = 11 ⇒ (NU CONVINE)
- c = 6 ⇒ 8b + 66 = 22a/:2 ⇒ 4b + 33 = 11a
daca a = 1 ⇒ 4b + 33 = 11 ⇒ 4b = -22 (NU CONVINE)
daca a = 2 ⇒ 4b + 33 = 22 ⇒ 4b = -11 ⇒ (NU CONVINE)
daca a = 3 ⇒ 4b + 33 = 33 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 abc = 306 (solutie)
daca a = 4 ⇒ 4b + 33 = 44 ⇒ 4b = 11 ⇒ (NU CONVINE)
- c = 8 ⇒ 8b + 88 = 22a/:2 ⇒ 4b + 44 = 11a
daca a = 1 ⇒ 4b + 44 = 11 ⇒ 4b = -33 (NU CONVINE)
daca a = 2 ⇒ 4b + 44 = 22 ⇒ 4b = -22 ⇒ (NU CONVINE)
daca a = 3 ⇒ 4b + 44 = 33 ⇒ 4b = -11 ⇒ (NU CONVINE)
daca a = 4 ⇒ 4b + 44 = 44 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 abc = 408 (solutie)
daca a = 5 ⇒ 4b + 44 = 55 ⇒ 4b = 11 ⇒ (NU CONVINE)
Din cazurile analizate numerele naturale de trei cifre care sunt de 34 de ori mai mari decât suma cifrelor lor sunt: 102; 204; 306; 408
Raspuns: abc ∈ {102; 204; 306; 408}
METODA 2
a, b, c - cifre
a, b, c ∈ { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
a ≠ 0
abc = 34•(a + b + c)
descompunem în baza 10 și vom avea
100a + 10b + c = 34a + 34b + 34c
66a - 33c = 24b
33•(2a - c) = 24b /:3 (împărtim toata relatia cu 3)
11(2a - c) = 8b
(11;8) = 1 (sunt prime intre ele, adică nu au nimic în comun)
b este cifră si NU poate avea valoare mai mare de 9 ⇒ b = 0 ⇒
2a - c = 0 ⇒ c = 2a ⇒ c ∈ {2,4,6,8} ⇒ a ∈ {1,2,3,4} ⇒
abc ∈ {102; 204; 306; 408}
Răspuns: abc ∈ {102; 204; 306; 408}
Vă mulțumim că ați vizitat site-ul nostru dedicat Matematică. Sperăm că informațiile oferite v-au fost de ajutor. Dacă aveți întrebări sau nevoie de asistență suplimentară, nu ezitați să ne contactați. Vă așteptăm cu drag data viitoare și nu uitați să ne adăugați la favorite!