[tex]$(\frac{1}{2})^{x} + (\frac{1}{3})^{x} = 1 \vert \cdot 6^{x}$[/tex]
[tex]3^{x} + 2^{x} = 6^{x}[/tex]
Putem arăta că pentru orice x > 1, [tex]6^{x} > 2^{x} + 3^{x}[/tex], folosindu-ne de principiul inductiei matematice si de faptul că funcțiile exponențiale date sunt strict crescătoare pe R.
Deci x <= 1.
Fie [tex]f(x) = 6^{x} - 2^{x} - 3^{x}[/tex], zeroul acestei functii va corespunde cu solutia ecuatiei anterioare, pentru a aproxima solutia vom folosi metoda lui Newton, care ne oferă o serie de aproximări ale soluției reale care converg pătratic.
Algoritmul arată așa:
[tex]$x_{n} = x_{n-1} - \frac{f(x_{n-1})}{f^{'}(x_{n-1})}$[/tex], unde fiecare x_{n-1} este aproximarea anterioară, acum presupunem că soluția e 0.5.
După 6 iterații obținem soluția aproximativă:
[tex]x \approx 0.7878849110258699[/tex]
