Răspuns:
Explicație pas cu pas:
C.E. n∈N și n≥3, n≥5, deci C.E. sunt n≥5, n∈N
Rezolvare1. [tex]C_{n}^{3}=C_{n}^{5},~~=>~\dfrac{n!}{3!*(n-3)!}=\dfrac{n!}{5!*(n-5)!}~=>~\dfrac{(n-3)!*(n-2)(n-1)n}{3!*(n-3)!}=\dfrac{(n-5)!(n-4)(n-3)(n-2)(n-1)n}{5!*(n-5)!}~=>\\~\dfrac{(n-2)(n-1)n}{6}=\dfrac{(n-4)(n-3)(n-2)(n-1)n}{120}[/tex]
120(n-2)(n-1)n=6(n-4)(n-3)(n-2)(n-1)n, |:6n(n-1)(n-2), ⇒20=(n-4)·(n-3)
n-4 și n-3 sunt două numere naturale consecutive, podusul cărora este 20, ⇒n-4=4 iar n-3=5, deci n=8 care convine C.E.
Răspuns: n=8.
Rezolvare 2.
Aplicăm proprietatea coeficienților binomiali:
[tex]C_{n}^{k}=C_{n}^{n-k},~=>~C_{n}^{3}=C_{n}^{n-3}\\Deoarece~C_{n}^{3}=C_{n}^{5},~~=>~~C_{n}^{n-3}=C_{n}^{5}[/tex]
Deci, n-3=5, ⇒n=5+3=8.
R[spuns: n=8.
