Răspuns:
Explicație pas cu pas:
Să demonstrăm prin inducție afirmația P(k)=” expresia 2^k·5^k are k+1 cifre, pentru k∈N*”
1. Verificăm pentru k=1, P(1): 2^1·5^1=(2·5)^1=10, deci, nr. de cifre 2 = k+1. Afirmația e adevărată.
2. Considerăm că e adevărată și pentru k=n, adică P(n) este adevărată și expresia 2^n·5^n are n+1 cifre, adică expresia 10ⁿ are n+1 cifre.
3. Să verivicăm P(n+1): k=n+1, obținem expresia 2ⁿ⁺¹·5ⁿ⁺¹=(2·5)ⁿ⁺¹=10ⁿ·10.
Deoarece expresia 10ⁿ are n+1 cifre, atunci 10ⁿ·10 va avea n+1+1=n+2 cifre, Adevărat.
Deci expresia 2^k·5^k are k+1 cifre, pentru orice k∈N*
Atunci 2²⁰⁰⁵·5²⁰⁰⁵ are 2005+1 = 2006 cifre.
