Răspuns:
Explicație pas cu pas:
a) [BM bisectoare, atunci după teorema bisectoarei ⇒CM/AM=BC/AB
Deoarece ∡ABC=60°, ⇒∡ACB=30°, atunci BC=2·AB, deci BC/AB=2/1
[tex]=>~\dfrac{CM}{AM}=\dfrac{2}{1}~=>~\dfrac{CM+AM}{AM}=\dfrac{2+1}{1}~=>~\dfrac{AC}{AM}=\dfrac{3}{1}~=>~AC=3AM.[/tex]
b) Se dă NP║AB și NQ║AC, deci AQNP este paralelogram. Dar AB⊥AC, deci și NP⊥AC. Atunci ∡APN=90°, deci paralelogramul AQNP este dreptunghi.
c) QP=AN ca diagonale ale dreptunghiului AQNP. În ΔBMC, ∡MBC=∡MCB=30°, deci ΔMBC este isoscel cu baza BC. Deoarece MN⊥BC, ⇒MN este și mediană, deci BN=NC, adică N este mijlocul ipotenuzei BC. Atunci AN este mediană în ΔABC, deci AN=BN=CN=(1/2)·BC, deci QP=AN=BC/2.
