Răspuns:
Explicație pas cu pas:
a) ABCD pătrat, AB=12, BE=4, AD=3·DF, ⇒12=3·DF, ⇒DF=12:3, ⇒DF=4cm.
b) BE=4=DF, BC=12=CD, ⇒ΔBCE≡ΔDCF după Criteriul CC (catetă, catetă) de congruență a două triunghiuri dreptunghice, ⇒Aria(BCE)=Aria(DCF).
Aria(AECF)=Aria(ABCF)+Aria(BCE)=Aria(ABCF)+Aria(DCF)=Aria(ABCD)=AB² = 12²=144cm².
c) CM⊥EF, unde M∈AB. Fie CM∩EF=N, ⇒∡ENM=90°.
Triunghiurile dreptunghice ENM și EAF au unghi ascuțit comun, ∠E. ⇒ ∡M=∡F, ⇒ ΔENM ~ ΔEAF, atunci EN/EA=EM/EF.
Din congruența ΔBCE≡ΔDCF, ⇒CE=CF, deci ΔCFE isoscel cu baza EF, CN este perpendiculară, deci CN este și mediană, ⇒NE=(1/2)·EF
Din ΔFAE, după Pitagora, ⇒EF²=AF²+AE², unde AF=8cm, AE=16cm. ⇒
EF²=8²+16²=8²·1+8²·2²=8²·5, deci EF=8√5, iar NE=4√5.
Înlocuim în EN/EA=EM/EF, ⇒
[tex]\dfrac{4\sqrt{5} }{16}= \dfrac{EM}{8\sqrt{5} },~=>~EM=\dfrac{4\sqrt{5}*8\sqrt{5}}{16}=10[/tex]
Deci EM=10cm, dar EM=BE+BM, ⇒10=4+BM, ⇒BM=6=(1/2)·AB, deci M este mijlocul laturii AB.
