Răspuns:
a) Daca M, N, P si Q sunt simetricele lui O fata de laturi, sa studiem patrulaterul OABM. Diagonala OM este de doua ori jumatatea laturii patratului ABCD. Daca notam cu M' intersectia lui OM cu AB OM = OM' + M'O = 2OM' = AB. Deci diagonalele lui OABM sunt egale, perpendiculare (M, simetricul lui O fata de AB) si se taie la mijloc (din aceleasi motive de simetrie), deci AOBM este un patrat. Pentru aceleasi motive, OBNC, OCPD si ODQA sunt tot patrate, egale cu OABM. Deci MNPQ este tot un patrat cu punctele A, B, C, D in mijloacele laturilor (diagonalele lui sunt perpendiculare, egale si se taie la mijloc). Deci MB + BN = AO + OC = 16, prin urmare perimetrul P(MNPQ) = 4 x 16 = 64.
b) ΔBQC este un triunghi isoscel in Q si aria lui este BCxN'Q/2
BC este latura patratului de diagonala 16, deci BC = 16/√2 = 16√2/2 = 8√2
N'Q = 1.5 x latura lui ABCD, deci N'Q = 1.5x8√2 = 12√2
A(BQC) = 8√2x12√2/2 = 96
