Răspuns:
Explicație pas cu pas:
a) Punctul P este situat pe bisectoarea unghiului A, dacă este egal depărtat de laturile lui.
ΔABC isoscel cu baza BC, ⇒∡ABC=∡ACB
ΔPBC isoscel cu baza BC, ⇒∡PBC=∡PCB, ⇒ ∡ABP=∡ACP
Trasăm din P, PD⊥AB, D∈AB și PE⊥AC, E∈AC. În ΔPBD și ΔPCE dreptunghice, ipotenuzele PB=PC și ∡PBD=∡PCE suplementare unghiurilor egale ∡ABP=∡ACP. Atunci, ΔPBD ≡ ΔPCE după crit. IU.
Atunci, PD=PE, deci punctul P este egal depărtat de laturile ∠A, ⇒ P este situat pe bisectoarea acestui unghi, deci PA este bisectoarea unghiului A.
b) O mijlocul segmentului BC, ΔABC isoscel cu baza BC, deci AO este mediană, bisectoare și înălțime, ⇒AO⊥BC
ΔPBC isoscel cu baza BC, deci PO este mediană, bisectoare și înălțime, ⇒PO⊥BC. Dar, prin punctul O poate trece o unică perpendiculară pe BC, deci punctele A,O,P sunt coliniare.
