b) [tex]a^9 = b^8+c^{10}[/tex]
Cea mai simplă cale este de a da o familie explicită de triplete (a, b, c).
Fie [tex]b = 2^{5n}[/tex], [tex]c = 2^{4n}[/tex].
Atunci [tex]b^8 +c^{10} = (2^{5n})^8+(2^{4n})^{10} =2^{40n}+2^{40n} = 2^{40n+1}[/tex].
Ei bine, când e 40n+1 multiplu de 9?
40n+1 = M₉ |·(-2)
⇒ -80n-2 = M₉ |+81n
⇒ n-2 = M₉
⇒ n = M₉+2
Așa că, fie n = 9k+2 cu k ∈ ℕ, iar familia noastră este:
[tex]b = 2^{5(9k+2)} \Rightarrow \boxed{b = 2^{45k+10}}[/tex]
[tex]c = 2^{4(9k+2)} \Rightarrow \boxed{c = 2^{36k+8}}[/tex]
[tex]a^9 = 2^{40(9k+2)+1} = 2^{360k+81}[/tex]
[tex]\Rightarrow a = 2^{\frac{360k+81}{9}}\Rightarrow \boxed{a = 2^{40k+9}}[/tex]
Astfel, am găsit un număr infinit de triplete de forma:
[tex](a, b, c) = (2^{40k+9}, 2^{45k+10}, 2^{36k+8}),\,k \in \mathbb{N}[/tex].
Începând cu (a, b, c) = (512, 1024, 256) pentru k = 0.
