Răspuns:
[tex]\frac{6\sqrt{5}-40 }{15}[/tex]
Explicație pas cu pas:
Problemele de genul se rezolvă folosind Formula Fundamentală a Trigonometriei (FFT): [tex]sin^{2}x[/tex]+[tex]cos^{2} x[/tex]=1.
sin x=[tex]\frac{2}{3}[/tex], iar dacă ridicăm la pătrat obținem că [tex]sin^{2}x=\frac{4}{9}[/tex]. De aici rezultă că [tex]cos^{2}x=1-\frac{4}{9}=\frac{5}{9}[/tex]. Dacă scoatem radicalul, obținem că [tex]|cos x|=\frac{\sqrt{5} }{3}[/tex]. x se află în intervalul (π/2,π), adică în cadranul I, deci modulul este pozitiv. Atunci [tex]cos x=\frac{\sqrt{5} }{3}[/tex]. Deci, [tex]tgx=\frac{sinx}{cosx} =\frac{\frac{2}{3} }{\frac{\sqrt{5} }{3} } =\frac{2}{\sqrt{5} }=\frac{2\sqrt{5} }{5}[/tex].
cos y=[tex]\frac{4}{5}[/tex], iar dacă ridicăm la pătrat obținem [tex]cos^{2} y=\frac{16}{25}[/tex]. De aici rezultă că [tex]sin^{2}y=1-\frac{16}{25}=\frac{9}{25}[/tex]. Dacă scoatem radicalul, obținem că [tex]|sin y|=\frac{3}{5}[/tex]. y se află în intervalul (3π/2,2π), adică în cadranul IV, deci modulul este negativ. Atunci [tex]siny=-\frac{3}{5}[/tex]. Deci, [tex]ctgy=\frac{cosy}{siny} =\frac{\frac{4}{5} }{-\frac{3}{5} } =-\frac{4}{3}[/tex].
În final, [tex]tgx+2ctgy=\frac{2\sqrt{5} }{5}-\frac{8}{3} =\frac{6\sqrt{5}-40 }{15}[/tex].
