Metoda inductiei matematice are in vedere doua etape.
I. Verificare
In aceasta etapa vrem sa verificam daca egalitatea este adevarata. n este natural nenul, deci vom incepe cu 1. Este suficienta o valoare pentru a verifica egalitatea.
[tex]Pt.(n=1)\Rightarrow 1^2=\frac{1(1+1)(2+1)}{6}\\1=\frac{1\times 2\times3}{6} \\1=1[/tex]
Prin urmare egalitatea este adevarata pentru n = 1. Nu este suficient, nu suntem siguri ca egalitatea va fi adevarata pentru orice valoare mai mare ca 1. Astfel, trecem la etapa 2. Daca ambele etape sunt verifiate atunci propozitia p(n) este adevarata.
II. Demonstrare
Presupunem propozitia P(k) o propozitie adevarata. Astfel, inlocuim n cu k si obtinem:
[tex]P(k):1^2+2^2+3^2+...+k^2=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}[/tex]
Vrem sa demonstram ca [tex]P(k)\Rightarrow P(k+1)({\displaystyle \forall })k\geq 1[/tex]
Mai exact trebuie sa demonstram ca propozitia p(k+1) este adevarata. In propozitia p(k) inlocuim k cu k+1 astfel:
[tex]P(k+1):1^2+2^2+3^2+...+(k+1)^2=\frac{(k+1)(k+2)[2(k+1)+1]}{6} \\P(k+1):1^2+2^2+3^2+...+(k+1)^2=\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}[/tex]
Aici te gandesti logic la termenul de dinaintea lui (k+1)^2. Adica k^2.
[tex]P(k+1):1^2+2^2+3^2+...+k^2+(k+1)^2=\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}[/tex]
Acum primii termeni sunt exact cei din propozitia P(k). Inlocuim [tex]1^2+2^2+...+k^2[/tex].
[tex]P(k+1):\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k+1)^2=\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}\\P(k+1):\frac{k(k+1)(2k+1)+6(k+1)^2}{6}=\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}[/tex]
Am adus la acelasi numitor. Acum scapam de fractie inmultind totul cu 6 si dam factor comun pe k+1.
[tex]k(k+1)(2k+1)+6(k+1)^2=(k+1)(k+2)(2k+3)[/tex]
[tex]P(k+1):(k+1)[k(2k+1)+6(k+1)]=(k+1)(k+2)(2k+3)\\P(k+1):k(2k+1)+6(k+1)=(k+2)(2k+3)\\P(k+1):2k^2+k+6k+6=2k^2+3k+4k+6\\P(k+1):2k^2+7k+6=2k^2+7k+6[/tex]
Am ajuns la o egalitate prin urmare P(n) este adevarata ∀ n ∈ [tex]{\displaystyle \mathbb {N} }[/tex]*
#copaceibrainly
