Salut,
Una dintre proprietățile părții întregi [x] este că:
x -- 1 < [x] ≤ x.
Scriem acestă dubă inegalitate pentru toți termenii de la numărătorul lui xₙ.
x -- 1 < [x] ≤ x
2x -- 1 < [2x] ≤ 2x
3x -- 1 < [3x] ≤ 3x
...
nx -- 1 < [nx] ≤ nx
Dacă adunăm membru cu membru cele n duble-ingalități de mai sus avem că:
x -- 1 + 2x -- 1 + 3x -- 1 + ... + nx -- 1 < [x] + [2x] + [3x] + ... + [nx] ≤ x + 2x + 3x + ... + nx (1).
În primul membru acel --1 apare de atâtea ori câți termeni are numărătorul lui xₙ, deci apare de n ori, suma lor este (--1)·n = --2.
Relația (1) devine:
(1 + 2 + 3 + ... + n)·x -- n < [x] + [2x] + [3x] + ... + [nx] ≤ (1 + 2 + 3 + ... + n)·x ⇔
⇔ n·(n + 1)·x/2 -- n < [x] + [2x] + [3x] + ... + [nx] ≤ n·(n + 1)·x/2 ⇔
⇔ n²·x/2 + n·x/2 -- n < [x] + [2x] + [3x] + ... + [nx] ≤ n²·x/2 + n·x/2
Dacă împărțim cu n² această dublă inegalitate, avem că:
[tex]\dfrac{x}2+\dfrac{x}{2n}-\dfrac{1}n<\dfrac{[x]+[2x]+[3x]+\ldots+[nx]}{n^2}\leqslant \dfrac{x}2+\dfrac{x}{2n}.[/tex].
La mijloc avem chiar pe xₙ, dacă trecem la limită când n tinde la +∞, avem că:
[tex]\dfrac{x}2+0-0<\lim\limits_{x\to+\infty}x_n\leqslant \dfrac{x}2+0.[/tex]
Cu criteriul cleștelui se vede clar că limita lui xₙ este x/2, unde x este un număr real oarecare.
Ai înțeles rezolvarea ?
Green eyes.
