Răspuns:
a=b
Explicație pas cu pas:
Exercițiul se rezolvă cu ajutorul progresiilor geometrice.
Pentru a observăm că avem o sumă de termeni ai unei progresii geometrice, cu a₁=1 și q=2. Avem 102 termeni pentru care trebuie să calculăm suma.
Suma primilor n termeni au unei progresii geometrice este dată de formula
Sn= [tex]\frac{a_{1}(1-q^{n)} }{1-q}[/tex] În cazul nostru, S₁₀₂ = [tex]\frac{1(1-2^{102)} }{1-2}[/tex] = 2¹⁰² - 1
Pentru b, ceea ce este în paranteză este o sumă de termeni ai unei progresii geometrice, cu b₁=1 și q=4. Avem 51 de termeni.
S₅₁ = [tex]\frac{1(1-4^{51)} }{1-4}[/tex] = [tex]\frac{4^{51}-1 }{3}[/tex]. 4⁵¹ se poate scrie ca (2²)⁵¹, adică 2¹⁰²
Deci S₅₁ = [tex]\frac{2^{102}-1 }{3}[/tex]
b=3×S₅₁ = 2¹⁰² - 1
Avem a=b = 2¹⁰² - 1
