Explicație pas cu pas:
[tex]\frac{a}{b+c}=\frac{b}{c+a}=\frac{c}{a+b}[/tex]
continuam sirul de rapoarte
[tex]\frac{a}{b+c}=\frac{b}{c+a}=\frac{c}{a+b}=\frac{a+b+c}{b+c+c+a+a+b}=\frac{a+b+c}{2a+2b+2c}=\frac{a+b+c}{2(a+b+c)}=\frac{1}{2}[/tex]
din [tex]\frac{a}{b+c}=\frac{1}{2}[/tex], aplicam proprietatea fundamentala a proportiilor si obtinem a*2=1*(b+c)⇔2a=b+c (1)
Analog, din [tex]\frac{b}{c+a}=\frac{1}{2}[/tex] obtinem 2b=a+c(2) si din [tex]\frac{c}{a+b}=\frac{1}{2}[/tex] obtinem 2c=a+b(3)
le scadem pe (1) si (2) si obtinem 2a-2b=b+c-a-c⇔2a-2b=b-a⇔2a+a=b+2b⇔ 3a=3b⇔a=b
le scadem pe (2) si (3) si obtinem 2b-2c=a+c-a-b⇔2b-2c=c-b⇔2b+b=c+2c ⇔3b=3c⇔b=c
Deci avem a=b si b=c, deci prin tranzitivitatea avem a=b=c
