Răspuns:
Explicație pas cu pas:
O fac doar pe prima. Dupa acelasi principiu se face si a doua.
Avem:
[tex]P(n)=1+11+111+1111...=\frac{10^{n+1}-9n-10 }{81}[/tex]
Vedem daca P(1) este adevarat.
[tex]P(1)=1=\frac{10^{2}-9-10 }{81}=\frac{81}{81}=1[/tex]
Intr-adevar este.
Acum presupunem ca P(k) e adevarat.
[tex]P(k)=1+11+111+1111...=\frac{10^{k+1}-9k-10 }{81}[/tex]
Calculam P(k+1)
[tex]P(k+1)=1+11+111+1111...+(1111111... de..(k+1)..ori)=\frac{10^{k+2}-9(k+1)-10 }{81}[/tex]
[tex]P(k+1)=P(k)+(1111111... de..(k+1)..ori)=\frac{10^{k+2}-9(k+1)-10 }{81}[/tex]
Substituim P(k)
[tex]P(k+1)=\frac{10^{k+1}-9k-10 }{81}+(1111111... de..(k+1)..ori)=\frac{10^{k+2}-9k-19 }{81}[/tex]
Avem:
[tex](1111111... de..(k+1)..ori)=10^{k}+10^{k-1}+10^{k-2}+10^{k-3}...+10+1[/tex]
Mai departe cred ca te descurci.
