👤
DAVID5290EN
a fost răspuns

Se considera numarul A=3¹+3²+3³+..3²⁰¹¹
a)Arătați ca A este numar impar
b)Calculati restul împărțiri numarului A+1 la 5​

Răspuns :

MADALIN01VAICAREN

Răspuns:

a) A este impar

b) 0

Explicație pas cu pas:

A=3¹+3²+3³+...+3²⁰¹¹ /*3

3A=3²+3³+3⁴+...+3²⁰¹²

-------------------------------- Din a doua relatie o scadem pe prima.

3A-A=3²-3¹+3³-3²+3⁴-3³+...+3²⁰¹²-3²⁰¹¹

Observam ca termenii asemenea, dar cu semn schimbat, se reduc.

=> 2A=3²⁰¹²-3 => A=3²⁰¹²-3/2

Ai sa vezi ca ultimele 2 cifre a unei puteri ale lui 3 se repeta dupa secvente de 3; 9; 7 si 1. Adica 3¹=3; 3²=9; 3³=27; 3⁴=81; 3⁵=243 si asa mai departe. Se repeta din 4 in 4. Pentru a afla ultimele 2 cifre al numarului nostru, este indeajuns sa aflam restul impartirii lui 2012 la 4 si sa il ridicam pe 3 la rest.

2012:4=503 rest 0 In cazul in care restul este zero, inseamna ca ultimele 2 cifre a lui 3 este echivalenta cu ultima din serie, adica 81.

=> u2(3²⁰¹²)=u2(3⁴)=u2(81)=81

u2(3²⁰¹²-3)=u2(81-3)=78

u2(78/2)=u(39)=9 => A este impar

b) u(A+1)=u[u(A)+u(1)]=u(9+1)=u(10)=0

Restul unui numar impartit la 5 se poate calcula dupa ultima cifra

=> restul lui A+1 la 5 este restul ultimei cifre ale lui A+1 impartita la 5, adica 0.

OMUBACOVIANEN

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

[tex]a)A=3+3^2+3^3+\ldots+3^{2011}\\A= 3 + 3^2(1+3)+3^4(1+3)+\ldots + 3^{2010}(1+3)\\A=3+3^2\cdot 4 + 3^4\cdot 4 + \ldots + 3^{2010}\cdot 4\\A= \underbrace{3} + \underbrace{4\cdot ( 3^2+3^4+\ldots + 3^{2010})}\\~~~~~~impar~~~~~~~~~~~~~~~par\\\texttt{Deci A este impar}.[/tex]

[tex]b) A + 1 = 1+3+3^2+\ldots+3^{2011}\\\texttt{Sunt 2012 termeni, deci ii putem grupa cate 4.}\\A + 1 = (1+3+3^2+3^3)+3^4(1+3+3^2+3^3) + \ldots+3^{2008}(1+3+3^2+3^3)\\A+1 = 40+3^4\cdot 40 + \ldots + 3^{2008}\cdot 40\\A +1 = 40(1+3^4+3^8+\ldots + 3^{2008})\\A+ 1 = 5\cdot 8\cdot (1+3^4+3^8+\ldots + 3^{2008})\\\texttt{Restul impartirii lui A+1 la 5 este 0}.[/tex]

Vă mulțumim că ați vizitat site-ul nostru dedicat Matematică. Sperăm că informațiile oferite v-au fost de ajutor. Dacă aveți întrebări sau nevoie de asistență suplimentară, nu ezitați să ne contactați. Vă așteptăm cu drag data viitoare și nu uitați să ne adăugați la favorite!


En Learnings: Alte intrebari