Răspuns:
Explicație pas cu pas:
avem 3 nr naturale aⁿ,bⁿ,cⁿ: indiferent de paritatea lor, cel putin unul dintre aⁿ+bⁿ,bⁿ+cⁿ si aⁿ+cⁿ este par ⇒(aⁿ+bⁿ)(bⁿ+cⁿ)(aⁿ+cⁿ)este par, adica =2k, unde k - nr natural.
Mai trebuie demonstrat ca ([tex]4^{A} -1[/tex]) divizibil cu 15, sau altfel scris [tex](2^{4k} -1)[/tex] divizibil cu 15 (k natural). (*)
Demonstram prin inductie: evident ca pt k=0, [tex]2^{0} -1[/tex] =0, deci divizibil cu 15.
Presupunem ca relatia (*) este adevarata pt k si demonstram ca este valabila pentru (k+1):
[tex]2^{4(k+1)} -1=2^{4k+4}-1=16*2^{4k} -16+15= 16*(2^{4k}-1)+15[/tex]
stim ca [tex](2^{4k} -1)[/tex] e divizibil cu 15, deci si 16*([tex]2^{4k}-1[/tex])+15 e divizibil cu 15, ceea ce inseamna ca relatia (*) este valabila pentru orice n / nr natural.
Adica, ([tex]4^{A} -1[/tex]) divizibil cu 15, (intrucat A este par), oricare ar fi a,b,c,n - nr naturale, ceea ce trebuia demonstrat.
