Notam mijloacele M, N, O, P.
[tex]In[/tex] [tex]{\displaystyle \triangle }AOB[/tex]
[tex]M-mijlocul[AO]\\N-mijlocul [BO][/tex]
[tex]{\displaystyle \Rightarrow }MN-l.mijlocie[/tex]
Linia mijlocie este segmentul care uneste mijloacele a doua laturi. Aceasta este paralela cu cea de a treia si este egala cu jumatatea ei. Prin urmare:
[tex]MN=\frac{AB}{2}[/tex]
[tex]In[/tex] [tex]{\displaystyle \triangle }BOC[/tex]
[tex]N-mijlocul[BO]\\O-mijlocul[CO][/tex]
[tex]{\displaystyle \Rightarrow }ON-l.mijlocie{\displaystyle \Rightarrow }ON=\frac{BC}{2}[/tex]
Dar ABCD - patrat, deci BC = AB = l (latura patratului). Deci:
- [tex]MN=ON=\frac{l}{2}[/tex]
Analog pentru laturile OP si MP. In final vom ajunge la concluzia:
- [tex]MN=ON=OP=MP=\frac{l}{2}[/tex]
Pentru a demonstra ca un patrulater este patrat trebuie sa demonstram ca are un unghi drept.
[tex]\triangle ABC{\displaystyle \sim }\triangle MNO[/tex] (toate laturile sunt proportionale)
[tex]\Rightarrow\angle ABC = \angle MNO =90[/tex]
Avand toate laturile congruente si un unghi drept patrulaterul MNOP este patrat.
#copaceibrainly
